Α7. Ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Πριν θυμηθούμε πώς γίνεται η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων, ας πούμε ποιος αριθμός λέγεται πρώτος...

Πρώτος λέγεται κάθε αριθμός που διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και το 1.
π.χ. πρώτοι είναι το 2, το 3, το 5, το 7.

Αν ένας αριθμός έχει και άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και το 1, λέγεται σύνθετος.

Το 1 δεν είναι ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος.


Για να αναλύσετε έναν αριθμό σε γινόμενο πρώτων, εξετάζετε με ποιον πρώτο αριθμό διαιρείται ξεκινώντας από το 2, το 3, το 5 κτλ. Δεν προχωράτε στον επόμενο πρώτο, αν δεν βρείτε όλες τις φορές που χωράει ο προηγούμενος πρώτος στον αριθμό.
πχ. η ανάλυση του 140 είναι

Όπως είπαμε και στο μάθημα, η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, είναι χρήσιμη για να βρίσκουμε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ μεγάλων αριθμών.

παράδειγμα

α) Να αναλύσετε τους αριθμούς 2520, 1512 και 1980 σε γινόμενο πρώτων.

β) Να βρείτε το ΜΚΔ(2520,1512,1980) και το ΕΚΠ(2520,1512,1980). 

για το α)

για το β)

ΜΚΔ=πολλαπλασιάζουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες υψωμένους στο μικρότερο εκθέτη

Κοινοί παράγοντες σε όλες τις αναλύσεις είναι το 2 και το 3. Ο μικρότερος εκθέτης με τον οποίο εμφανίζεται το 2 είναι 2 και ο μικρότερος εκθέτης με τον οποίο εμφανίζεται το 3 είναι επίσης 2. Άρα, ΜΚΔ=2²𑁦3²=4𑁦9=36

ΕΚΠ=πολλαπλασιάζουμε κοινούς και μη κοινούς παράγοντες υψωμένους στο μεγαλύτερο εκθέτη

Οι κοινοί παράγοντες είναι το 2 και το 3 και ο μεγαλύτερος εκθέτης με τον οποίο εμφανίζονται και οι δύο στις αναλύσεις είναι 3. Επίσης, υπάρχουν και οι μη κοινοί παράγοντες 5, 7 και 11, που εμφανίζονται μια φορά ο καθένας. Άρα, ΕΚΠ=2³𑁦3³𑁦5𑁦7𑁦11=83.160

• Φυσικά, όταν οι αριθμοί των οποίων ψάχνουμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ είναι μικροί, χρησιμοποιούμε τους τρόπους που ξέρουμε από το δημοτικό, γιατί είναι πιο εύκολοι και γρήγοροι.
• Όταν δεν υπάρχουν κοινοί παράγοντες, τότε ο ΜΚΔ είναι 1.

Ασκήσεις για το σπίτι