Ευκλείδεια διαίρεση είναι η διαίρεση στην οποία σταματάμε πριν βάλουμε στο πηλίκο υποδιαστολή. Δείτε στα παρακάτω παραδείγματα.
 |
| Δεν είναι ευκλείδεια διαίρεση, έχουμε βάλει υποδιαστολή στο πηλίκο. |
 |
| Δεν κάναμε σωστά τη διαίρεση, το 15 χωρούσε ακόμη μια φορά στο 62 |
 |
| Είναι ευκλείδεια διαίρεση. |
 |
| Είναι Ευκλείδεια διαίρεση και μάλιστα τέλεια. |
Αυτό που στο δημοτικό ονομάζαμε δοκιμή της διαίρεσης λέγεται ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης και είναι μια πολύ σπουδαία μαθηματική ισότητα. Δηλαδή, από τις δύο παραπάνω διαιρέσεις, που είναι ευκλείδειες, έχουμε τις εξής ισότητες
523=37𑁦12+5 και 9045=45𑁦201, που είναι οι ταυτότητες των αντίστοιχων Ευκλείδειων διαιρέσεων.
Γενικά, ισχύει ο «τύπος»
παράδειγμα 1
Η ισότητα 120=28𑁦4+8 προέκυψε από δύο πιθανές «διαιρέσεις»:
 |
| δεν μπορεί να είναι διαίρεση |
 |
| είναι ευκλείδεια διαίρεση |
ή
Τελικά, η ισότητα 120=28𑁦4+8 εκφράζει την ευκλείδεια διαίρεση 120:28.
παράδειγμα 2
Διαιρούμε έναν αριθμό με το 4. Πόσο μπορεί να είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης;
απάντηση
Το υπόλοιπο σε μια διαίρεση είναι πάντα μικρότερο του διαιρέτη, που εδώ είναι 4.
Άρα, θα είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3.
τέλεια ή ατελής ευκλείδεια διαίρεση
Μια ευκλείδεια διαίρεση όπου το υπόλοιπο είναι μηδέν, λέγεται τέλεια. Αν δεν είναι τέλεια, θα είναι ατελής, δηλαδή θα έχει υπόλοιπο, το οποίο όμως πρέπει να είναι μικρότερο του διαιρέτη.
Στην τέλεια διαίρεση, για το διαιρετέο Δ, το διαιρέτη δ και το πηλίκο π ισχύει η σχέση
Στις διαιρέσεις υπάρχουν κάποιοι βασικοί όροι:
- ο διαιρέτης δ δεν μπορεί να είναι μηδέν:
Σκεφθείτε, αν ήταν μηδέν ο διαιρέτης, τότε θα είχαμε να μοιράσουμε κάτι σε μηδέν μέρη. Αυτό δε βγάζει νόημα, άρα ο διαιρέτης απαγορεύεται να γίνει μηδέν. - το υπόλοιπο υ ή είναι μηδέν ή όχι. Αλλά, είναι πάντα μικρότερο του διαιρέτη δ.
άρτιοι και περιττοί
Ας υποθέσουμε ότι διαιρούμε έναν ακέραιο με το 2. Δεν έχει σημασία ποιος είναι, γι' αυτό και θα τον συμβολίσουμε με α. Τότε, το υπόλοιπο της διαίρεσης ή θα είναι μηδέν ή όχι, αλλά τότε θα είναι μικρότερο του διαιρέτη 2. Τελικά, το υπόλοιπο ή θα είναι μηδέν ή 1, δηλαδή έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Στην πρώτη περίπτωση, που ο αριθμός διαιρείται τέλεια με το 2, τον έχουμε ονομάσει ζυγό ή άρτιο. Από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης προκύπτει ότι ένας ζυγός έχει τη μορφή 2𑁦κ, όπου κ το πηλίκο, δηλαδή ένας ακέραιος.
Στη δεύτερη περίπτωση, που διαιρείται με το 2 και αφήνει υπόλοιπο 1 λέγεται μονός ή περιττός. Άρα, από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης προκύπτει ότι ένας μονός έχει τη μορφή 2𑁦κ+1, όπου κ το πηλίκο, δηλαδή ένας ακέραιος.
Κι αν διαιρέσουμε έναν ακέραιο με το 3;
Αν διαιρέσουμε έναν ακέραιο με το 3, έχουμε 3 περιπτώσεις:
- το υπόλοιπο να είναι 0, οπότε αυτός ο αριθμός θα έχει τη μορφή 3𑁦κ, όπου κ το πηλίκο, δηλαδή ένας ακέραιος.
- το υπόλοιπο να είναι 1, οπότε αυτός ο αριθμός θα έχει τη μορφή 3𑁦κ+1, όπου κ το πηλίκο, δηλαδή ένας ακέραιος.
- το υπόλοιπο να είναι 2, οπότε αυτός ο αριθμός θα έχει τη μορφή 3𑁦κ+2, όπου κ το πηλίκο, δηλαδή ένας ακέραιος.
Ανάλογες απαντήσεις παίρνουμε αν σκεφτούμε ότι διαιρούμε έναν ακέραιο με το 4 ή το 5 κτλ.
Ένα μικρό τεστάκι στη θεωρία αυτή ...
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου