Ασκήσεις και προβλήματα μέχρι να ξανασυναντηθούμε

Εδώ θα δημοσιεύω ασκήσεις και προβλήματα σχετικά με τα όσα κάναμε από διαγωνισμούς. Μπορείτε να τις λύσετε και να μου τις στείλετε στο email μου.

Πρόβλημα 1 (διαγωνισμός Θαλής, 2007)

Το πρόβλημα είναι από το κεφάλαιο με τα ποσοστά, με το οποίο ασχοληθήκαμε τελευταία.

Πρόβλημα 2 (διαγωνισμός Θαλής, 2008) από τη Γεωμετρία

Πρόβλημα 3 (διαγωνισμός Θαλής, 2008) από τα κλάσματα και τις αριθμητικές παραστάσεις

Πρόβλημα 4 (διαγωνισμός Θαλής, 2008) σχετικό με πολλαπλάσια και ποσοστά

Υπόδειξη: Εφόσον το πλήθος των αγοριών είναι ανάμεσα στο 100 και στο 200, θα βρείτε πρώτα τα πολλαπλάσια του 3 που είναι ανάμεσα στο 100 και στο 200 και από αυτά θα κρατήσετε μόνον εκείνον τον αριθμό που όταν διαιρείται με 5 ή 7 αφήνει υπόλοιπο 3. Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι βέβαια.

Πρόβλημα 5 (διαγωνισμός Θαλής, 2009) σχετικό με Ευκλείδεια διαίρεση

Υπόδειξη: Θυμηθείτε από το μάθημα της Ευκλείδειας διαίρεσης, όταν διαιρούμε έναν αριθμό με το 4 ποια είναι τα δυνατά υπόλοιπα αυτής της διαίρεσης; Και τελικά, ποιες είναι οι ισότητες της Ευκλείδειας διαίρεσης ανάλογα με την περίπτωση; Π.χ. αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 4 είναι 1, η ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης θα είναι α=4𑁦κ+1, όπου κ είναι ένας ακέραιος που θα βρούμε ως πηλίκο στη διαίρεση αυτή. 

Πρόβλημα 6 (διαγωνισμός Θαλής, 2009) σχετικό με πολλαπλάσια αριθμών

Υπόδειξη: Εφόσον το πρόβλημα μιλάει για το 1/4 των μαθητών, αναγκαστικά αυτός ο αριθμός θα είναι ακέραιος. Δηλαδή, το πλήθος των μαθητών διαιρείται ακριβώς με το 4. Επίσης, για τον ίδιο ακριβώς λόγο θα διαιρείται ακριβώς με το 5 και το 8. Τελικά, το πλήθος θα είναι πολλαπλάσιο των 4, 5 και 8. Όμως, ΕΚΠ(4,5,8)=40, άρα τα πολλαπλάσιά τους είναι οι αριθμοί 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, ... Κάνετε δοκιμές και κρατάτε έναν από αυτούς τους αριθμούς, ώστε να ταιριάζει με τα υπόλοιπα δεδομένα του προβλήματος. 
    Υπάρχει και άλλος τρόπος να λυθεί, με εξίσωση, αλλά αυτόν θα τον μάθουμε στη Β' Γυμνασίου.

Πρόβλημα 7 (διαγωνισμός Θαλής, 2009) σχετικό με κανόνες διαιρετότητας

Πρόβλημα 8 (διαγωνισμός Θαλής, 2010) σχετικό με αριθμητικές παραστάσεις και ΜΚΔ

Υπόδειξη: Στο β ερώτημα, αυτό που ζητάει είναι να βρείτε το ΜΚΔ των x και y.

Πρόβλημα 9 (διαγωνισμός Θαλής, 2010) σχετικό με Ευκλείδεια διαίρεση και ΜΚΔ

Λίγα ακόμη προβλήματα σχετικά με κλάσματα και αριθμητικές παραστάσεις:

Πρόβλημα 10(διαγωνισμός Θαλής, 2011)

Υπόδειξη: Θυμηθείτε ότι είναι καλό να απλοποιείτε τα κλάσματα που έχετε!

Πρόβλημα 11(διαγωνισμός Θαλής, 2011)

Υπόδειξη: O ν είναι πρώτος αριθμός, άρα είναι 2 ή 3 ή 5 ή 7 ή 11 ή 13 κτλ.
Το κλάσμα 10/ν παριστάνει φυσικό αριθμό, άρα η διαίρεση του 10 με τον αριθμό ν είναι τέλεια, επομένως δύο είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός ν. Θα βάλετε καθεμιά από αυτές στην παράσταση Β και θα κάνετε τις πράξεις.

Πρόβλημα 12(διαγωνισμός Θαλής, 2012)

Πρόβλημα 13(διαγωνισμός Θαλής, 2012) 

Είναι παρόμοια άσκηση με την 11.