Α6. κριτήρια διαιρετότητας - θεωρία

Όταν λέμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλον, εννοούμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσής τους είναι μηδέν, δηλαδή ότι η διαίρεσή τους είναι τέλεια.

• Ένας αριθμός διαιρείται με το 2, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 3, όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 4, όταν τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 5, όταν το τελευταίο του ψηφιο είναι 0 ή 5.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 6, όταν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.
• Το κριτήριο διαιρετότητας του 7 είναι πολύπλοκο.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 8, όταν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαρείται με το 8.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 10, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
• Το κριτήριο διαιρετότητας του 11 είναι επίσης πολύπλοκο.
• Ένας αριθμός διαρείται με το 25, αν τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 25, δηλαδή αν ο αριθμός λήγει σε 00, 25, 50 ή 75.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 100 αν λήγει σε 00. Με το 1000, όταν λήγει σε 000, κτλ.

Για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 6, επειδή 6=2𑁦3, αρκεί να ελέγξουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. Για να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 12, επειδή 12=3𑁦4, αρκεί να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 3 και το 4. Αναλόγως πράττουμε με άλλους αριθμούς, αλλά θα πρέπει οι αριθμοί που διαλέγουμε, όπως πχ το 3 και το 4 που πήραμε για το 12, να είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Μερικές φορές, για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο,  είναι προτιμότερο να κάνουμε τη διαίρεσή τους και να δούμε αν είναι τέλεια.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 3.180:

• διαιρείται με το 2, γιατί λήγει σε 0.
• διαιρείται με το 3 γιατί το άθροισμα των ψηφίων του είναι 3+1+9+0=12 και το 12 διαρείται με το 3.
• διαιρείται με το 4, γιατί τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν τον αριθμό 80, ο οποίος διαιρείται ακριβώς με το 4.
• διαιρείται με το 5 γιατί λήγει σε 0.
• διαιρείται με το 6, γιατί διαιρείται με το 2 και το 3 συγχρόνως.
• δε διαιρείται με το 8, γιατί λήγει σε 180 και το 180 δεν διαιρείται ακριβώς με το 8.
• δε διαιρείται με το 9, γιατί το άθροισμα των ψηφίων του είναι 12 και το 12 δε διαιρείται με το 9 ακριβώς.
• διαιρείται με το 10, γιατί λήγει σε 0.
• δε διαιρείται με το 25, γιατί τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 80, που δε διαιρείται με το 25 ακριβώς.
• δε διαιρείται με το 100, γιατί δεν τελειώνει σε 00.

Και μία ακόμη άσκηση από το διαγωνισμό «Υπατία»